چگونه تقریب بزنیم؟
در زندگی روزمره ، متناسب با موضوعاتی که سروکارداریم در صورت نیازاز عددهای تقریبی به جای مقدارهای واقعی و دقیق استفاده می کنیم.
جمعيـت ايـران هشـتاد ميليـون نفـر اسـت»؛
«توليد سـالانه ی سـيب يـک بـاغ ۳۴۰۰کيلوگـرم اسـت»؛
«فاصلـه ی تهـران تـا اصفهـان، ۶۰۰کيلومتـر اسـت».
ايـن جمله هـا و مشـابه آنهـا را هـر روز يـا می شـنويم يـا می گوييـم. امـا معنـی عددهايی کـه در ايـن جمله ها بيـان می شـوند چيسـت؟
آيـا دقيقـاً هشـتاد ميليون نفـر در ايـران زندگی می کننـد؟
يـا درسـت ۳۴۰۰کيلـو سـيب از آن بـاغ به دسـت آمده اسـت؟
يـا از تهـران تـا اصفهـان درسـت ۶۰۰کيلومتر راه اسـت؟
قطعاً پاسخ همه ی ايـن سـؤالات «خيـر» اســــت. ايـن عددهـا مقدارهـای تقريبـی جمعيت، توليـد سـيب و فاصلـه هسـتند، نـه مقـدار دقيـق آنهـا. حـال اين سـؤال مطـرح می شـود کـه مقـدار دقيـق بـا مقـدار تقريبـی چقـدر اختلـاف دارد؟ يعنـی ميـزان خطـا در ايـن تقريب ها چقـدر اسـت؟ بـرای اينکـه بتوانيم به ايـن سـؤال پاسـخ دهيـم، بايـد بدانيم ايـن اعداد تقريبـی از روی اعداد اصلی چگونــه به دسـت آمـــده اند و دقـت تقريـب چقـدر بوده اسـت؟
انواع تقریب زدن
دو روش برای تقريب زدن عددها وجود دارد: قطع کردن؛ گرد کردن.
۱.قطع کردن عدد
در تقريـب بـه روش قطـع کـردن، از بعضی رقم های عـدد اصلی، صرف نظـر می کنيم.
انـگار داريـم عدد را می بُريم. مثلاً محصول امسـال باغ سـيبی ۱۴۸۹کيلوگرم اسـت.
ممکـن اسـت بـرای حمل سـيب ها بـا کاميـون، دانسـتن مقدار دقيـق آنهـا در حد زيـر صـد کيلوگـرم نياز نباشـد. در اين صـورت می گوييـم محصول باغ تقريبـاً ۱۴۰۰کيلوگـرم اسـت. درواقـع، از مقـدار رقم هـای مرتبه هـای يـکان و دهـگان کـه از صـد کوچکتـر هسـتند، صرف نظـر می کنيـم. بـه ايـن ترتيـب، اختـلاف مقـدار واقعی ازمقدار تقريبی ۸۹= ۱۴۰۰- ۱۴۸۹اسـت و ۸۹ از۱۰۰ ( دقت تقريب) کوچکتر اسـت.
بـد نيسـت روی محـور اعداد حقيقی نيـز به ايـن عددها نگاهـی بيندازيم:
ايـن موضـوع در حالـت کلی نيز برقرار اسـت: يعنی اگـر بخواهيم عـددی را با تقريب کمتـر از ( ۱۰nيعنـی ۱کـه n تـا صفـر جلويـش اسـت) تقريب بزنيـم، بايـد از مقدار رقم هايـی کـه ارزش مکانـی آنهـا از ۱۰nکوچکتـر اسـت، صرفنظر کنيـم. درواقع آن رقم هـا را برمی داريـم و بـه جايشـان صفـر می گذاريـم. مثالهـای زيـر را ببينيد:
مثال ۱٫ هر عدد با تقريب خواسته شده قطع شده است:
۵۳۸ با تقريب کمتر از ۱برابر است با خود ۵۳۸
۲۶با تقريب کمتر از ۱۰برابر است با ۲۰
۷۴۵۶۳با تقريب کمتر از ۱۰۰برابر است با ۷۴۵۰۰
۹۸با تقريب کمتر از ۱۰۰برابر است با ۰
۷۴۵۶۳با تقريب کمتر از ۱۰۰۰۰برابر است با ۷۰۰۰۰
در مورد اعداد اعشاری نيز دقيقاً همينطور است:
۱۶۷۴/۴۵ با تقريب کمتر از يک هزارم برابر است با ۱۶۷/۴۵
با تقريب کمتر از يکصدم برابر است با ۱۶/۴۵
با تقريب کمتر از يکدهم برابر است با ۱/۴۵
با تقريب کمتر از ۱برابر است با ۴۵
با تقريب کمتر از ۱۰برابر است با ۴۰
با تقريب کمتر از ۱۰۰برابر است با .۰
توجه كنيد كه در قطع كردن اعداد
۱٫ عـدد تقريبـی هميشـه از عـدد اصلـی کوچکتـر اسـت. بـه هميـن دليـل، گاهـی اصطلاحاً می گوييـم اعـداد را بـا «تقريـب نُقصانـی» تقريـب زده ايـم.
۲٫ اختاف عدد اصلی با عدد تقريبی از دقت تقريب کوچکتر است.
۳٫ دقت تقريب، توانی از ۱۰است و با ارزش های مکانی اعداد متناظر است.
۴٫ بايد ارزش مکانی را به خوبی بشناسيم.
در پایه دوم ابتدایی از دانش آموزان اینطور سوال می کنیم ، که به طور مثال:
۱٫عدد ۳۴۷ را به صورت تقریبی “باحذف رقم یکان” بنویس.
جواب: ۳۴۰
توضیح: “رقم یکان حذف” و به جای آن”۰” قرار می دهیم بقیه ی عدد ها بدون تغییر نوشته می شوند.
۲٫عدد ۳۴۷ را به صورت تقریبی “باحذف رقم یکان و دهگان ” بنویس.
جواب: ۳۰۰
توضیح: “رقم یکان و دهگان حذف” و به جای آن”۰” قرار می دهیم بقیه ی عدد ها بدون تغییر نوشته می شوند.
۲.گرد کردن عدد
بـار ديگـر بـه داسـتان بـاغ سـيب برگرديم. محصـول يک سـال اين بـاغ ۱۴۸۹ کيلوگـرم بـود، ولـی ما برای راحتـی کار و اينکه در عمل نيازی به دانسـتن مقدار دقيـق وزن سـيبها تـا زير صـد کيلوگـرم نداشـتيم، از ۸۹ کيلوگـرم صرف نظر کرديـم و محصـول بـاغ را ۱۴۰۰کيلوگـرم اعـلام کرديـم. امـا تـه ذهنمـان اين موضـوع هسـت کـه گرچـه ۸۹ کيلوگـرم از ۱۰۰ کيلوگرم کمتر اسـت و احتمالاً
در کار مـا تأثيـری نخواهـد داشـت، ولی اين مقـدار خيلی به۱۰۰نزديک اسـت. در واقـع، از روی محـور اعـداد معلوم اسـت کـه ۱۴۸۹ به ۱۵۰۰نزديکتر اسـت تـا به ۱۴۰۰.
شـکل زيـر را ببينيد:
در بسـياری از مسـئله های عملـی و واقعـی، از روش ديگـری بـرای تقريب زدن اسـتفاده می شـود که خطـای آن در مـواردی کمتر از خطـای روش قطع کردن اسـت. ايـن روش بـه گرد کردن معروف اسـت وگاهی حتـی در صحبت های عادیمـان نيـز بـه درسـت يـا غلـط، از اصطـاح «این عـدد را گـردش کن» اسـتفاده می کنيـم. اکنـون ببينيـم در روش گرد کـردن چگونه عـدد تقريبی از عـدد اصلی بـه دسـت می آيد؟اکنون مثالهای زير را ببينيد:
مثال ۲. هر عدد با تقريب خواسته شده گرد شده است:
۵۳۸ با تقريب کمتر از ۱برابر است با خود ۵۳۸
۲۶با تقريب کمتر از ۱۰برابر است با ۳۰
۷۴۵۶۳با تقريب کمتر از ۱۰۰برابر است با ۷۴۶۰۰
۹۸با تقريب کمتر از ۱۰۰برابر است با ۱۰۰
۷۴۵۶۳با تقريب کمتر از ۱۰۰۰۰برابر است با ۷۰۰۰۰
در مورد اعداد اعشاری نيز دقیقاً همينطور است:
۴۵/۱۶۷۴با تقريب کمتر از يک هزارم، برابر است با ۴۵/۱۶۷
با تقريب کمتر از يک صدم، برابر است با ۴۵/۱۷
با تقريب کمتر از يک دهم برابر است با ۴۵/۲
با تقريب کمتر از ۱برابر است با ۴۵
با تقريب کمتر از ۱۰برابر است با ۵۰
با تقريب کمتر از ۱۰۰برابر است با ۰
توجه كنيد كه در گرد كردن اعداد:
۱.عدد تقريبی گاهی از عدد اصلی کوچکتر است و گاهی بزرگتر.
۲.دقت تقريب، توانی از ۱۰است و با ارزشهای مکانی اعداد متناظر است.
۳.اختاف عدد اصلی با عدد تقريبی از دقت تقريب کوچکتر است.
۴.خطای تقريب کمتر يا برابر با خطای تقريب در روش قطع کردن است.
۵.بايـد ارزش مکانـی را به خوبی بشناسـيم و بتوانيم روی محـور اعداد حقيقی جايـگاه اعداد را نسـبت به يکديگـر تعيين کنيم.
گرد کردن در پایه دوم ابتدایی اینطور آمده ، که به طور مثال:
۱.عدد ۴۷ را به صورت تقریبی بنویس.
جواب: ۵۰
توضیح : باید ببینیم عدد ۴۷ به ۴۰ نزدیکتره یا ۵۰ ، می بینیم که به ۵۰ نزدیکتره.
۲٫ عدد۴۳ را به صورت تقریبی بنویس.
جواب: ۴۰
توضیح : باید ببینیم عدد۴۳ به ۴۰ نزدیکتره یا ۵۰ ، می بینیم که به ۴۰ نزدیکتره.
به سؤالهای زير فكر كنيد:
۱. عـدد ۱۸۹۸۱را بـا تقريـب کمتر از صـد، يک بار قطع
کنيد.يک بـار گـرد کنيـد. دو عـدد تقريبی به دسـت آمده
را بـا هم مقايسـه کنيـد. چه توضيحـی داريد؟
۲. عـدد ۱۹۸/۹۸۱را بـا تقريـب کمتـر از يکصـدم،
يکبـار قطـع کنيد و يکبـار گرد کنيـد. دو عدد تقريبی
به دسـتآمده را بـا هـم مقايسـه کنيـد. چـه توضيحـی
داريد؟
۳.عـددی را بـا تقريـب کمتـر از ،۱۰۰ يکبـار قطـع
کرديـم. يک بـار گـرد کرديم. بيشـترين اختلاف اين دو
عـدد تقريبـی چـه می توانـد باشـد؟ چـرا؟
۴.عـددی را بـا تقريب کمتـر از ۱۰۰قطـع کرديم، عدد
۱۷۰۰بـه دسـت آمـد. آن عدد چيسـت؟ چرا؟
۵. عـددی را بـا تقريـب کمتـر از ۱۰۰گـرد کرديم، عدد
۱۷۰۰بـه دسـت آمـد. آن عدد چيسـت؟ چرا؟
پاسخ سؤا ل ها
۱. در گِـرد کـردن، چـون رقم دهـگان ۸و از ۵
بزرگتـر اسـت، پـس از قطـع کـردن ، ۸۱يـک
واحـد بـه رقم صـدگان يعنی ۹ اضافه می شـود.
منتهـا نمی توانيـم در ايـن مرتبه ۱۰بنويسـيم.
بنابرايـن، يـک واحـد بـه مرتبـه ی بعـد، يعنـی
يـکان هـزار، اضافـه می شـود و بـه ۹تبديـل
می شـود و حاصل، ۱۹۰۰۰اسـت. قطع شـده ی
آن ۱۸۹۰۰اسـت.
۲. در گـرد کـردن، چـون رقـم يک هـزارم، ۱
اسـت و از ۵ کمتـر اسـت، پـس بعـد از قطـع
کـردن ،۱رقـم صـدم تغييـری نمی کنـد و
۱۹۸/۹۸بـه دسـت می آيـد. قطع شـده ی عدد
نيـز هميـن ۱۹۸/۹۸خواهـد بـود.
۳. بيشـترين اختاف ايـن دو تقريب ۱۰۰واحد
اسـت. چون اگر گرد شـدهی آن بـه عدد بالايی
باشـد، قطع شـدهاش هم که عدد پايينی اسـت
و در تقريـب بـا دقـت ،۱۰۰ايـن دو عـدد ۱۰۰
واحـد فاصلـه دارند. روی محور اعـداد برای خود
ترسـيم کنيـد و ببينيـد. شـکل ۲نيـز در درک
ايـن موضوع به شـما کمـک می کند.
۴.از ۱۷۰۰تا ۱۷۹۹. دليل را شما بگوييد.
۵.از ۱۶۵۰تا ۱۷۵۰و دليل را شما بگوييد.
برای تکرار و تمرین جمع و تفریق تقریبی پایه ی دوم می توانید محتوای الکترونیکی جمع و تفریق فرایندی را از سایت پاک مدیا تهیه بفرمایید.
مجله رشد آموزش ابتدایی با اندکی تغییر
دیدگاهتان را بنویسید